Mandelbrot ve Fraktal Geometri

İnternette bir yerlerde mutlaka karşınıza çıkmıştır; görüntüyü ne kadar büyütürseniz büyütün birbirini tekrarlayan, iç içe, ilk baştaki görüntünün aynısı olan şekillerin bulunduğu "fantastik" fraktaller... Görsel ve sanatsal izdüşümlerinin dışında asıl olarak matematik ve fizikte büyük öneme sahip olan bu yapıların en ünlüsü olan Mandelbrot kümelerinin "babası" Benoit Mandelbrot geçtiğimiz hafta vefat etti. Uzun ve verimli bir bilim kariyerinin ardından 85 yaşında kansere yenik düşen Mandelbrot kendi alanında son 30 yılın en etkili insanlarından biriydi diyebiliriz. Ölümüne istinaden, şöhretini borçlu olduğu fraktal yapıları ve Mandelbrot kümeleri hakkında birşeyler karalayım istedim.

Mandelbrot, frakteller konusunda efsanevi kitap olarak tanımlanabilecek "The Fractal Geometry of Nature" kitabını şu cümlelerle açıyor :

"Neden geometri çoğu zaman 'soğuk' ve 'yavan' olarak tanımlanır ki? Böyle olmasının bir nedeni bir bulutun, bir dağın, bir sahil şeridinin ya da bir ağacın şeklini tarif edememesidir. Ne bulutlar küre, dağlar koni, sahil şeritleri çember şeklindedir, ne de yıldırım dümdüz doğru boyunca hareket eder."

Mandelbrot'un işaret etmeye çalıştığı doğada gözlediğimiz şekillerin hiçbirinin Öklid'in zamanından miras geometride kullandığımız , idealize edilmiş düzgün şekillerde olmadığı. Örneğin bir ağacın dallarının oluşturduğu şekiller, bir kümülüs bulutunun sınırını ya da bir tepenin şeklini belirleyen çizgiler düzgün olmaktan çok girintiler çıkıntılarla doludur. Doğada bunun birçok örneği var ve görüyoruz ki doğa bizim ideal geometrimizden farklı olarak oldukça "pürüzlü". "Pürüzlü" bir cisime basit bir örnek olarak Koch kartanesini verebiliriz.


Eşkenar bir üçgen alıp her kenarını üçe bölüp ortadaki üçte birlik kısımdan yeni bir eşkenar üçgen üretelim ve bunu oluşan bütün kenarlar için sonsuza kadar tekrarlayalım. İlk dört adımı yukarıda verilen şeklin sonsuz adımda oluşan halindeki herhangi bir üçgene yakınlaştığınızda ilk baştaki şeklin aynısını bulacaksınız.. Sonsuza kadar kendini tekrar eden bir geometri...

Bulutların sınır çizgileri incelendiğinde karşımıza çıkan fraktal yapılar

Her ne kadar bu cisimler pürüzlülükleriyle "kural dışı" gibi dursalar da matematik modelleri çıkartıldığında ortaya çok ilginç sonuçlar çıkıyor. Fraktal yapılar adı altında incelenen bu bu şekillerin ilk akla geleni Mandebrot kümeleri. Aslında temelinde çok basit olarak "yineleme" yöntemi ile oluşturulan bu kümelerin grafiksel gösterimleri gerçekten nefes kesici olabiliyor.

Mandelbrot kümesinin iki boyutlu düzlemde renklendirilerek gösterimi

Yukarıdaki görüntünün ilk bakışta birçok simetriye sahip olduğu kolaylıkla görünüyor ama şeklin asıl etkileyici kısmı görüntüye herhangi bir noktadan ne kadar yaklaşırsanız yaklaşın yine ilk görüntüdeki yapının aynısı ile karşılaşıyorsunuz. Bahsettiğim şeyi animasyon halinde görmek için aşağıdaki videoya bir göz atın:

Mandelbrot Kümesinin 10 üzeri 214 kez büyütülerek elde edilen görüntüler!

Bu görüntünün altında yatan matematik aşağıda Mandelbrot'un kendi yazısıyla yazdığı denklemden ibaret. Konunun detaylarını öğrenmek isteyenleri Plus dergisindeki "Unveiling the Mandelbrot Set" yazısına yönlendiriyorum.

Edge'in 2007'de düzenlediği "21.yy için Formüller" çalışmasında Mandelbrot'un katkısı olan formül ( Kaynak : Edge.org )

Mandelbrot ve çalışmaları hakkında daha fazla bilgi edinmek için Edge'in Mandelbrot'un anısına hazırladığı özel sayfa ve makalelere göz atılabilir.

Son olarak Mandelbrot'un TED 2010'da Fraktaller ve genel olarak çalışmalarıyla ilgili yaptığı harika konuşmayı da aşağıdan izleyebilirsiniz. ( TED bağlantısı için tıklayınız )

Gökyüzündeki Fizik ve Eğlenceli Deneyler

Ders kayıtları ve okulun ilk haftasının yoğunluğunu göz önüne alarak biraz sessiz kaldı buralar fakat işleri yoluna koyduğumuza göre geri dönme vakti geldi. Bir süredir Gökyüzü Gönüllüleri hakkında bir şeyler paylaşmıyordum, bu fırsatla geçen haftasonu Çekmeköy'de gerçekleştirdiğimiz etkinliği yazayım istedim.

2009 Astronomi Yılı'nın yazında İstanbul Çekmeköy'de Çekmeköy Derneği ile ortak bir şekilde iki haftalık bir astronomi yaz okulu gerçekleştirmiştik( Detayları için tıklayınız ) Bu etkinlikten sonra dernektekilerle bağlarımızı güçlendirerek birkaç tane daha devam niteliği taşıyan etkinlik ve gözlem yaptık, her birinden inanılmaz keyif aldık. Bu yıl da ortak neler yapabiliriz diye konuşurken bu sefer farklı birşeyler deneyelim istedik ve astronomiyi fizik deneyleriyle anlatalım dedik. Ebay'den çok makul fiyatlara aldığımız deney setleriyle sunumlarımızı zenginleştirip, bahsettiğimiz kavramların çocukların gözünde daha iyi canlanması için çaba sarfettik ve sonuçta ortaya güzel bir çalışma çıktı.

Etkinliğimizin ismini "Gökyüzündeki Fizik" olarak belirlemiştik. Gökyüzüne baktığımızda ya da astronomi hakkında konuştuğumuzda karşımıza çıkan fiziksel kavramlar çoğu zaman "zor" ya da "ders gibi olduğu için sıkıcı" şeklinde nitelendiriliyor çocuklar tarafından. Hele "fizik" deyince akıllarına hemen, öğretmenlerinin tahtada saatlerce formüller karaladığı dersler geliyorsa iş daha da zor. Bunu aşmak için kullanılabilecek en güzel şey ise eğlenceli ve bilgilendirici deneyler. Dört kişilik gönüllü ekibimizle cumartesi günü derneğin yolunu tuttuk ve varır varmaz sunum hazırlıklarına başladık. Aramıza yeni katılan Yeliz'in ve uzun zamandır aramızda olmasına rağmen beraber bir etkinlik gerçekleştiremediğimiz Onur'un ilk etkinlikleriydi bu; hepimiz heyecanlıydık! Gösterimler için kullanacağımız renk disklerini, elektromıknatısları ve roketleri kurup denedik ve çocukları beklemeye koyulduk.

Sunum için hazırladığımız salon yavaş yavaş dolmaya başladı. Çocuklarla uzun zamandır görüşmediğimizden önce bir hasret giderdik, okul durumlarını sorduk. Herbiri birbirinden azimli ve çalışkan bu çocukların okullarının kötü olmasının imkanı yoktu zaten. Herkes geldiğinde sunuma başladık. Konu olarak fizik seçitiğimizden sunumu olabildiğince interaktif ve çekici hale getirmeye çalıştım sunum boyunca. Astronomi ile fiziği ilişkilendirecek beş alt başlık belirlemiştim. Bunlar:

• Işığın yapısı ve kırılmasını anlatacağım "Gökyüzü neden mavidir?
• Genel çekim yasasından bahsedeceğim "Newton'un kafasına düşen elma!"
• Yıldızların renkleri ve yapılarını anlatacağım "Yıldızlar neden parlar?"
• Manyetizma ve elektomıknatıslardan bahsedeceğim "Dev bir mıknatıs : Dünya!"
• Roketlerden bahsedeceğim "Uzay Uçuşları ve Roketler"

Bir buçuk saat boyunca elimdeki ufak deneyleri de kullanarak sunum yapmama rağmen çocuklar son dakikaya kadar ilgi ve meraklarını korumayı başardılar. Ama en güzeli anlattığım her konuda gelen birbirinden ilginç, çoğu zaman terletici sorular. Örneğin 4. sınıf bir çocuğa merkez-kaç kuvvetini anlatmak durumunda kaldım, siz hayal edin! :)

Renk diski ve beyaz ışığın ana renklerin birleşiminden oluştuğunundan bahsederken

Renk diski dönüyor ve beyaz oluyor!

Discovery Uzay Mekiği'nin eşliğinde Roketler

Roket gösterimleri için kullandığımız "portatif roket"

Meraklı çocuklar, birbirinden ilginç sorular...

Deneylerin en ilgi çekeni mıknatıslar ve roketlerdi kuşkusuz. Ufak bir pil ile çalışan çubuk bir elektromıknatıs ile aliminyum folyadan cisimleri sihirbaz gibi uçurduğumuzda çocukların gözlerini görmeniz gerekirdi!

Ufak sihirbazlık numaraları...değil tabii ki , sadece basit bir elektromıknatıs :)

Roketleri denemek için ise mahalle parkına geçtik. Elimizde aynı prensiple çalışan bir tane hava bir tane de su roketi vardı. Çocuklar sıraya geçerek hepbir ağızdan geri sayımla tek tek roketleri havaya fırlattılar ve en yükseğe çıkartanı belirlediler. Bir taraftan biz de su roketlerini ayarlayıp hava bastık ve yukarı fırlattık. Fışkıran sular da işin bir diğer eğlenceli kısmıydı.

İlk roketi Yeliz fırlatıyor ve tam havada fotoğraf makinasına yakalanyor!

Semih, Onur ve ben de bir taraftan su roketlerini hazırlıyoruz

Su roketinin ilk denemesi, fakat başarısız oluyor :(

İkinci deneme ve roket fırlıyor!

Gündüz etkinliğini tamamlamak için gece bir de gözlem yapmayı planlıyorduk, fakat hava pek güven vermiyordu. Akşam yedi gibi ufak bulutlar da gözden kaybolunca gökyüzü güzel bir gözlemin habercisi olmuştu. Biz de hepberaber mahalle parkına giderek teleskobumuzu kurduk; bir taraftan lazerle gökyüzünü anlatırken bir taraftan da teleskobumuzla Jupiter ve Ay'ı izledik. Teleskobun arkasındaki sırayı görmeliydiniz! Dernekteki çocuklar ve aileleri, mahalle parkında akşam keyfi yapan amcalar, teyzeler, etrafta top oynayan çocuklar hepsi sıradaydı! Çocukların ilgi seli, mahallelilerin meraklı sorularıyla dört kişi zor başa çıkabilidik.

Onların da artık "aklı yüzlerce ışık yılı havada" :)

Gökyüzünün o büyülü şiirini İstanbul'un bir köşesinde, mahallenin ortasında birbirinden güzel çocuklar ve insanlarla paylaştık; Jupiter'in etrafındaki uydularına hep beraber bakıp şaşırdık, Ay'ın kraterlerini izleyerek keyif aldık. Sonunda da güzel bir fotoğrafla geceyi noktaladık:)