Melekler ve Şeytanlar Üzerine Çeşitlemeler

Dün izlediğim Numb3rs dizisinin beşinci sezon finalinde birbirinden ilginç matematiksel puzzle ve oyunlardan bahsediliyor, hemen her bölümde olduğu gibi. Amerikan dizisinde “matematiğin de ne işi var” demeyin sakın, adamlar her yönüyle polisiye bir diziye gayet de matematiği entegre etmişler; hem de ilk okul matematiğinden bahsetmiyorum, çoğu yerde neredeyse doktora seviyesinde. Tabi bu son söylediğim göz korkutmak için değil, tam tersine yapımcılar böylesine zor konseptleri öyle başarılı bir şekilde sunuyorlar ki.. Aşağıdaki videoya bir göz atın:

Uygulamalı Matematik’teki “Oyun Teorisi” alanından bir kavramı açıklarken..

Yeteri kadar Numb3rs reklamı yaptım sanırım ( hala indirmeye başlamadınız mı? ) Bahsedeceğim asıl konu izlediğim bölümdeki bir problem. Dizide birisi kaçırılıyor ve kaçıran kişilerin ardına düşen ekipler hemen müdehale etmesine rağmen suçluları ellerinden kaçırıyorlar. Sonradan anlaşılıyor ki takip sırasında araç bir noktaya uğrayıp kaçırılan kişi başka bir yere transfer edilmiş. Problem şu: olay bölgesine yönlendirilen ekipleri göz önüne alarak suçluların kaçabileceği yol güzergahını tahmin edebilmek. Problemi çözmek için ortaya atılan ise ünlü matematikçi John Conway’in yıllar önce ortaya attığı  Melekler problemi. Bu problem matematikte kombinatorik oyun teorisi alanında oldukça ünlü ve ortaya konulduktan sonra çözümü birçok matematikçiyi yıllarca uğraştırdı. İki boyutta sonsuz bir satranç tahtasında belirli bir sayı ile belirtilen hareket kabiliyetine sahip bir “melek” var elinizde ve meleği boş karelerde hareket ettirebiliyorsunuz. Sizin her hamlenizin karşılığında da şeytan bir hamle yapıyor ve yolunuzu kapatmak için boş bir kareye bir şeytan koyuyor. Böyle bir oyunda melek sonsuza kadar hamle yaparak, yani etrafının sarılıp hareket edemeyecek duruma gelmesini engelleyerek ancak kazanabilir. Bu şekilde meleğin kazanması için bir strateji var mıdır?

  

Yapılan araştırmalar sonucunda tek kare ilerleyebilen (satrançtaki şah misali) melek için kazanan bir strateji yok(yani şeytan her zaman kazanıyor) fakat iki veya daha fazla kare hareket kabiliyetine sahip melek için her zaman kazanan bir strateji bulmak mümkün. İlginizi çektiyse Conway’in problemi ortaya koyduğu ve üzerinde tartışığı makalesine ve çözen matematikçilerin yöntemlerine göz atabilirsiniz. Bahsettiğim problem türü ilginizi çektiyse Ali Nesin’in Matematik ve Oyun kitabını mutlaka edinmeli, Martin Gardner’ı da en yakın zamanda tanımalısınız.

Melekler ve Şeytanlar deyince aklıma bir de Escher’in muhteşem grafiği “Circle Limit IV” geliyor:

Biraz dikkatli incelediğinizde siyah şeytanların arasında beyaz melekleri fark edebilirsiniz. Escher’in sonsuzluğu iki boyutta ifade etme çabasının ürünleri olan Circle Limit serisindeki en etkileyici grafik bence bu. Aynı şekilleri sonsuz kere tekrarlayarak kaplama(tesselation) yöntemi Escher’in en karakteristik tekniği. Fakat Escher’in bahsettiğim sonsuzluk kavramı bununla ilgili değil, oldukça derin matematiksel kökleri olan hiperbolik geometri ile ilgili.

Yukarıdaki grafiğe baktığınızda aynı şekilde şeytan ve meleklerin merkezden dışa doğru dizildiğini görüyorsunuz. Merkeze yakın olanlar büyük iken  merkezden uzaklaştıkça boyut küçülüyor ve sayılar daha da sıklaşıyor. Escher’in melekler ve şeytanları dizmekteki sanatsal dehasının yanında, kullandığı hiperbolik uzayın iki boyuta izdüşümü tekniği, yukarıdaki grafiğin karmaşıklığına bir katman daha ekliyor. Çok çok basit bir şekilde tanımlarsak hiperbolik geometri üçgenlerin iç açılarının toplamının 180’den küçük olduğu geometridir. Aşağıdaki grafikte ortadaki şekilde olduğu gibi açık ve sonsuz bir yapıya sahip.

Ortadaki şekil hiperbolik geometriyi ifade ediyor(üç boyut içine hapsedilmiş) – diğer geometrilere bakarsanız küresel geometride(positive curvature) üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden büyükken, düz geometri(flat curvature) de ise tam olarak 180 dereceye eşit.

Hiperbolik geometriye sahip bir cismi iki boyutlu bir yüzey üzerine yansıttığımız zaman tıpkı Esher’in grafiğinde karşılatığımız garip sonuçlarla karşı karşıya kalıyoruz. Problemin bir kısmı, sonsuz olduğunu belirttiğimiz bir uzayı sonlu bir alanda ifade etmek istememizden kaynaklanıyor; bir diğer sorun da açılar konusunda bahsettiğim nedenlerden dolayı uzaklıklar arasındaki ilişkiler bizim alışık olduğumuz düz uzaydakinden çok daha farklılar. Altında yatan matematiği, Escher’in bu grafikleri yaparken esinlendiği gemetrici Coxeter’dan dinleyelim bir de:

Hiperbolik geometriye dair detaylı bilgi almak için Plus dergisindeki makaleyi, Escher’in grafiklerinde karşılaştığımız matematiksel deha için ise AMS’teki makaleye(pdf) göz atmanızı tavsiye ederim.

Bilinç akışımın son basamağında da konuyu kozmolojiye bağlayıp bitirmek istiyorum. Hiperbolik geometri olarak yukarıda bahsettiğim uzay ilk defa karşılaşıyorsanız çok soyut gelmiş olabilir fakat fiziksel olarak da kesinlikle derin bir anlamı var. Evrenin en geniş ölçekte şeklini belirleyen geometri bu olabilir örneğin! Kozmoloji’de  en temel denklemlerden biri olan FRW(Freedman-Robertson-Walker) denklemine göz attığımızda :

denklemin sağ tarafı geçen yazımdan tanıdık gelebilir: Hubble Parametre’sinin karesi. Sağ tarafta ise G, Newton’un evrensel sabiti, ρ ise evrenin enerji yoğunluğu. Burada asıl kritik olan k parametresi; o da evrenin eğriliğine göre üç farklı değer alabiliyor:

• k= +1 : Küresel evren
• k= –1 : Hiperbolik evren
• k= 0 : Düz evren

Yani k’nın –1 olduğu durumda evrenin geometrisi hiperbolik oluyor ve neredeyse evrenin boyutuna yakın ölçekte çizdiğimiz üçgenlerin iç açılarının toplamı 180’den küçük oluyor. Bu durum evrenin genişleme hızını da değiştiriyor elbette. Çünkü denklemin sağ tarafının değeri doğrudan Hubble parametresini belirliyor – yani evrenin genişlemesini.

Bu kadar hiperbolik geometriden bahsettikten sonra evrenimizin de bu geometriye sahip olduğunu söylemek isterdim ama malesef gözlemlerden çıkan sonuçlara göre evren oldukça çok yüksek bir hassasiyetle düz bir geometriye sahip. Yani FRW denklemindeki k değerini sıfır olarak alıyoruz. Bu da bize çözümü oldukça basit bir diferansiyel denklem bırakıyor.

Yani k’yı 0 aldığımız durumda evrenin eksponensiyel bir şekilde yani ivmelenerek genişlediği sonucuna ulaşıyoruz. Bu da gözlemlerle birebir uyum içerisinde bir sonuç ( ρ’yu sabit almamın özel bir nedeni var, o da başka bir yazı artık.. ).

Numb3rs’tan girip kozmolojiden çıkmayı başardım böylece; bu noktaya kadar gelmede sabır ve özellikle “başarı” gösteren herkese sevgiler, saygılar :)