İkiz Asalların Peşinde

Matematik, popüler medyada parçacık hızlandırıcılar, büyük patlamaya dair 'çarpıcı' bulgular ya da son geliştirilen gen teknolojileri gibi daha sükseli haberlerin hep arka planında kalır ya da çoğu zaman dile bile getirilmez.. Bir haftadır internette özellikle fizik/matematik çevrelerinde hareretli bir şekilde konuşulan bir konu var ki, hem asal sayılarla ilgili olduğundan benim ilgimi çeken hem de ortaya konulan sonucun arka planında Boğaziçi Üniversitesi'nden bir Türk matematikçi olduğundan 'milli duygularımı' kabartan bir özelliğe sahip.. Problemi ve ortaya konan sonucu kendimin de çok iyi anladığını söyleyemem; bu gibi yazıların en büyük faydası herhalde yazının sonunda birçok şey benim için de çok daha açıklığa kavuşacak olması..

Bahsi geçen problem matematikte sayılar teorisi olak bilinen alanın en önde gelen problemlerinden biri: İkiz Asallar Varsayımı (Twin Prime Conjecture). İlkokuldan hatırladığınız haliyle asal sayılar kendisi ve bir dışında hiçbir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar olarak tanımlanıyor ve en küçük 2'den başlamak üzere sonsuza kadar gidiyor; 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... gibi.. Asal sayıların sonsuz olması bir önceki cümlemde kullandığım haliyle 'apaçık ortada olan' birşey değil aslında fakat bu yazıda buna girmeyeceğim, merak edenler için Matematik Dünyası'nda yayınlanan bu harika yazı fazlasıyla fikir verecektir. Gelelim ikiz asallara.. İkiz asallar, ard arda gelen ve aralarındaki fark 2 olan asal sayı çiftleri olarak tanımlanıyor. Örneğin (3,5) , (5,7) , (11,13) , (17,19) gibi.. İkiz Asallar Varsayımı ise bu çiftlerden sonsuz tane olduğunu iddia ediyor..

Özellikle sayılar teorisinde ifade edilmesi çok kolay fakat çözülmesi bir okadar zor olan problemlerden birisi, bu varsayımın doğruluğunun kanıtlanması.. Bu varsayım, konu hakkında bilginiz yoksa çok da olağanüstü gelmemiş olsa gerek.. Fakat asal sayıların sayı ekseninde (şu an bildiğimiz haliyle) tamamen rastgele dağıldığını ve büyük sayılara doğru gittiğimizde bir asal sayı ile ardından gelen bir asal sayı arasındaki aralığın gittikçe büyüdüğünü(yani asal sayıların gittikçe seyrekleştiğini) biliyoruz. Dolayısıyla aralarında sadece iki fark olan ikililerin sonsuz tane olması yukarıdaki bilinenler ışığında çok da beklenen bir şey değil.. İşin ilginci, ikiz asalların yanında aralarındaki fark 4, 6, 8 .. gibi çift sayılar olan ikili asalların da sonsuz tane olduğu düşünülüyor fakat ortada bir kanıt yok..

Bu hafta gündeme gelen, New Hempshire Üniversitesi'nden Yitang Zhang adlı matematikçinin yayınladığı bir makale. Yayınlanan makalede Y. Zhang ikiz asallar varsayımını kanıtlamıyor fakat aralarındaki fark 70 milyon gibi bir üst değere sahip sonsuz tane asal çifti olduğunu gösteriyor.. Yani şu demek oluyor: öyle asal çiftleri var ki aralarındaki fark bir sabit sayı ki bu 70 milyon'dan küçük ve bu asal çiftlerinden sonsuz tane var. Yani Zhang'in kanıtı ikiz asallar yani aralarında sadece 2 fark olan çiftlerin sonsuzluğunu kanıtlamasa da şu ana kadar yapılamamış olanı yani bu sonsuz çiftlerin varlığını kanıtlamış ve bu çiftlerin arasındaki boşluğun 70 milyondan daha küçük olduğunu göstermiştir.. 70 milyon gibi oldukça 'yuvarlak' bir sayının ortaya konmuş olması da tamamen kullanılan yöntem ve teoremin çalıştığı aralık ile ilgili..

Bu çalışmanın girişte bahsettiğim öneminden biri de bu matematiksel kanıtın 2005 yılında San Jose State University'den Daniel Goldston, Budapeşte Alfred Renyi Matematik Enstitüsü'nden Janos Pintz ve Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Cem Yildirim tarafından beraber yayınlanan ve çözüme çok yaklaşan bir makalesinden hareket edilerek geliştirilmesi.. Konu hakkında internette bahsedilen her yerde bu üç isme ve yayınladıkları makaleye sürekli atıfta bulunuluyor.. Bu konunun arka planı hakkında Cem Yıldırım'ın 2003 yılında Radikal'e verdiği bir roportajı buldum, merak edenler oraya da göz atabilir.

Ortaya konan bu çözüm, ikiz asallar savının kanıtlanmasına doğru atılan en ciddi adımlardan biri olarak görülüyor. Bu konuyu matematikçilerin 'gerçek dünyadan kopuk, süslü" problemleri şeklinde görmeyin sakın, çünkü bu problemin nerelere bağlandığını bir bilseniz... Asal sayıların arasındaki boşluklar şu anda matematikteki en büyük problemlerden biri hatta çözümüne Clay Matematik Enstitüsü'nün 1 milyon dolar verdiğini söylesem inandırıcı olur sanırım.. Asalların dağılımı altında yatan prensipler şu anda inter üzerinden yaptığımız sanal alışverişlerden bankacılık işlemlerine, devlet istihbaratına kadar her alanda kullanılan iletişim protokollerin altında yatan en temel kavramlar aslında. Tabii konunun 'pratik' faydalarının ötesinde asal sayılar başlı başına bir 'merak' kaynağı ve kişisel olarak bu son söylediğim beni hepsinden daha fazla çekiyor.

Konuyla ilgili matematik videoları yayınlayan Youtube kanalı Numberphile, anlaşılabilir bir dille kısa-10'ar dakikalık- iki video yayınladı; konunun matematiği hakkında birkaç şey öğrenmek isteyenlere kesinlikle tavsiye edilir..



İlgili ikinci video da bu bağlantıda..

Konuyla ilgili yayınlanan birkaç yazının bağlantısı:

- Solving a riddle of Primes - The New York Times
- The first proof of infinitely many primes come in pairs - Nature News
- Twin primes are useful - Gödel's Lost Letter and P=NP

Animasyonla 'Güneş Sistemi Dışı Gezegenler'

PhDComics'den 'Güneş Sistemi Dışı Gezegenler'(Exoplanets) üzerine harika bir animasyon.. Şunun şurasında 20 yıl önce ilk adımların atıldığı bu alanda, bu kadar kısa sürede gelinen nokta ve kullanılan tekniklerin zenginliği kesinlikle etkileyici.. Evren anlayışımıza dair bir 'devrim' yaşıyoruz aslında ama farkında değiliz sanırım..

Bu serideki tüm videolara kesinlikle göz atmanızı öneririm..

Konuyla ilgili Bulutsu.org ekibinin özveriyle hazırladıkları 'Gezegen Avı' sitesi harika bir Türkçe kaynak, eklemeden geçmeyelim..

Video da kullanılan teknik son zamanlarda Youtube'da çok popüler; özellikle bilim ile ilgili konuları bu şekilde karalama, çizim, 'doodle' yöntemleriyle çok daha anlaşılır ve akılda kalır şekilde sunan kanallar var; bunlara üye olup her video güncellemesini takip edebilirsiniz. Aşağıdakiler benim favorilerim:

• Minute Physics (Genellikle fizik konulu)
• AsapScience (Genel bilim)
• ViHart (Matematik meraklılarına)

Konu Youtube bilim kanallarından açılmışken, yukarıdaki video yöntemini kullanmasalar da içerikleri ve sunuş şekilleriyle kesinlikle etkileyici birkaç tane daha kanal paylaşayım:

• Sixty Symbols (Fizik ile ilgili, doğrudan bilim insanları ile sohbet şeklinde - kesinlikle tavsiye olunur!)
• Periodic Videos (Yukarıdakinin kimya versiyonu - anlatan prof. amcayı çok seveceksiniz)
• Numberphile (Üsttekilerin matematik versiyonu - bunların hepsi ve daha fazlasını aynı eleman hazırlıyor aslında - tüm yayınlarına şuradan göz atabilirsiniz)
• Veritasium (Bu da 'genel bilim' kategorisinde - kesinlikle çok iyi iş çıkarıyor)
• SciShow (Bu da 'genel bilim')
• PBS Idea Channel (Bu da bonus olsun - her telden çalan müthiş bir yayın)

Cargese'de Kozmik Hızlandırıcılar

Yaklaşık bir haftadır, Korsika Adası'nda düzenlenen bir astrofizik okulundayım; yüksek enerjili kozmik ışınların hızlandırılma mekanizmaları üzerine büyük bir kısmı teorik olan 10 günlük bir okul, 'Cosmic Accelerators'.. Dünyanın birçok yerinden 50 kadar yüksek lisans, doktora araştırması yapan ve konuyla ilgilenen birçok uzmanın bir araya geldiği bir toplantı..

Son zamanlarda özellikle yüksek enerji astrofiziğinde en popüler ve bir o kadar da içinde zorluklar barındıran bir konu kozmik ışınlar.. Bundan tam 100 yıl önce Victor Hess, dedktörlerini yüklediği balonuyla 5 km kadar yukarı çıkıp radyasyon seviyesini ölçüp, sanılanın aksine radyasyon seviyesinin Dünya'dan uzaklaştıkça azaldığını değil tam tersini arttığını gözlemişti.. Bu problemin asıl kaynağı aslında 1900'lerin başında, etrafından izole edilmiş yüklü eletroskopların zamanla yüklerini kaybetttikleri gözlenmesiydi. Bu elektroskopları yüksüz hale getiren bir iyonlaştırıcı kaynak olması gerekiyordu, yoksa orta okulda öğrendiğimiz gibi yüklü bir elektroskobun müdehale edilmediğinde yüklü olarak kalması gerekiyordu.. İlk başlarda, bahsi geçen kaynağın Dünya'nın kendisi olduğu düşünülüyordu (yani dünya yüzeyindeki doğal radyo aktif kaynaklar), hatta Paris'te Eyfel kulesinin tepesine çıkarak Dünya'dan uzaklaştıkça bu etkinin azaldığını gösterenler dahi oldu ama ölçülen azalma beklenenden çok daha azdı.. Hess'in balon deneyleri, bu radyasyonun kaynağının Dünya'nın dışında olduğunu kanıtladı ve böylece kozmik ışınlar olarak adlandırılan bu parçacıkların gezegenimiz dışından geldiği kesinlik kazandı..

İlerleyen yıllarda geliştirilen deneylerle kozmik ışınlar çok daha detaylı bir şekilde incelendi ve büyük bir kısmının enerjisinin Dünya'da en büyük hızlandırıcılarda elde edebildiğimiz enerjilerden milyonlarca kat daha fazla olduğu görüldü. Aşağıda bu konuyla ilgili gösterilen en ünlü grafik olan kozmik ışın spektrumu var:

Yatay eksen enerjiyi, dikey eksen ise akıyı yani belirli bir alana saniyede düşen parçacık miktarını gösteriyor. Bu parçacıkların %90'ını protonlar, geri kalanların çoğunluğu helyum çekirdeği ve diğer ağır çekirdekler.. Yüksek enerjilere gittikçe akı azalıyor fakat can alıcı soru şu: parçacıklar bu kadar yüksek enerjilere kadar nasıl çıkmış olabilirler? Nasıl bir ortamda ve ne tip bir mekanizma ile bu devasa enerjilere kavuşmuşlar?.. Ortaya atılmış bir kaç model olsa da herkesin üzerinde anlaştığı tam bir çözüm yok. Katıldığım okulda bu mekanizmaları ve kozmik ışınların üretildiği düşünüldüğü süpernova, aktif galaksi çekirdekleri, nötron yıldızları hakkında çeşitli dersler veriliyor.. Dersleri veren kişiler konunun 'süperstar'ları diyebileceğim, en önde kişiler; kısacası benim için büyük bir şans.. Ben de yaklaşık bir dönemdedir yüksek enerji şok-plazma ortamlarda parçacık hızlandırma mekanizmaları üzerine uğraşıyorum danışmanım ile birlikte; kulağa çok da astronomi ile ilgili gibi gelmese de bu mekanizmaların aktif galaksi çekirdekleri adını verdiğimiz ortamlardan gözlediğimiz gama ışınlarını nasıl oluşturduğuna bakıyoruz aslında..

Sabahtan akşama kadar derslerden pek fırsat bulamasam da arada kasabada küçük yürüyüşler yapıp birkaç fotoğraf çekmeye çalışıyorum; harika bir doğası var Korsika'nın, büyük bir kısmı neredeyse el değmemiş, denizi turkuaz mavi.. Gerek enstitü gerek içinde bulunduğu kasaba, Türkiye'de Matematik Köyü'nün olduğu Şirince'ye çok benziyor.. Okulun içeriğiyle ilgili sonunda bir yazı daha yazmayı planlıyorum, şimdilik bu giriş niteliğinde olsun diyelim..