İkiz Asalların Peşinde

Matematik, popüler medyada parçacık hızlandırıcılar, büyük patlamaya dair 'çarpıcı' bulgular ya da son geliştirilen gen teknolojileri gibi daha sükseli haberlerin hep arka planında kalır ya da çoğu zaman dile bile getirilmez.. Bir haftadır internette özellikle fizik/matematik çevrelerinde hareretli bir şekilde konuşulan bir konu var ki, hem asal sayılarla ilgili olduğundan benim ilgimi çeken hem de ortaya konulan sonucun arka planında Boğaziçi Üniversitesi'nden bir Türk matematikçi olduğundan 'milli duygularımı' kabartan bir özelliğe sahip.. Problemi ve ortaya konan sonucu kendimin de çok iyi anladığını söyleyemem; bu gibi yazıların en büyük faydası herhalde yazının sonunda birçok şey benim için de çok daha açıklığa kavuşacak olması..

Bahsi geçen problem matematikte sayılar teorisi olak bilinen alanın en önde gelen problemlerinden biri: İkiz Asallar Varsayımı (Twin Prime Conjecture). İlkokuldan hatırladığınız haliyle asal sayılar kendisi ve bir dışında hiçbir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar olarak tanımlanıyor ve en küçük 2'den başlamak üzere sonsuza kadar gidiyor; 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... gibi.. Asal sayıların sonsuz olması bir önceki cümlemde kullandığım haliyle 'apaçık ortada olan' birşey değil aslında fakat bu yazıda buna girmeyeceğim, merak edenler için Matematik Dünyası'nda yayınlanan bu harika yazı fazlasıyla fikir verecektir. Gelelim ikiz asallara.. İkiz asallar, ard arda gelen ve aralarındaki fark 2 olan asal sayı çiftleri olarak tanımlanıyor. Örneğin (3,5) , (5,7) , (11,13) , (17,19) gibi.. İkiz Asallar Varsayımı ise bu çiftlerden sonsuz tane olduğunu iddia ediyor..

Özellikle sayılar teorisinde ifade edilmesi çok kolay fakat çözülmesi bir okadar zor olan problemlerden birisi, bu varsayımın doğruluğunun kanıtlanması.. Bu varsayım, konu hakkında bilginiz yoksa çok da olağanüstü gelmemiş olsa gerek.. Fakat asal sayıların sayı ekseninde (şu an bildiğimiz haliyle) tamamen rastgele dağıldığını ve büyük sayılara doğru gittiğimizde bir asal sayı ile ardından gelen bir asal sayı arasındaki aralığın gittikçe büyüdüğünü(yani asal sayıların gittikçe seyrekleştiğini) biliyoruz. Dolayısıyla aralarında sadece iki fark olan ikililerin sonsuz tane olması yukarıdaki bilinenler ışığında çok da beklenen bir şey değil.. İşin ilginci, ikiz asalların yanında aralarındaki fark 4, 6, 8 .. gibi çift sayılar olan ikili asalların da sonsuz tane olduğu düşünülüyor fakat ortada bir kanıt yok..

Bu hafta gündeme gelen, New Hempshire Üniversitesi'nden Yitang Zhang adlı matematikçinin yayınladığı bir makale. Yayınlanan makalede Y. Zhang ikiz asallar varsayımını kanıtlamıyor fakat aralarındaki fark 70 milyon gibi bir üst değere sahip sonsuz tane asal çifti olduğunu gösteriyor.. Yani şu demek oluyor: öyle asal çiftleri var ki aralarındaki fark bir sabit sayı ki bu 70 milyon'dan küçük ve bu asal çiftlerinden sonsuz tane var. Yani Zhang'in kanıtı ikiz asallar yani aralarında sadece 2 fark olan çiftlerin sonsuzluğunu kanıtlamasa da şu ana kadar yapılamamış olanı yani bu sonsuz çiftlerin varlığını kanıtlamış ve bu çiftlerin arasındaki boşluğun 70 milyondan daha küçük olduğunu göstermiştir.. 70 milyon gibi oldukça 'yuvarlak' bir sayının ortaya konmuş olması da tamamen kullanılan yöntem ve teoremin çalıştığı aralık ile ilgili..

Bu çalışmanın girişte bahsettiğim öneminden biri de bu matematiksel kanıtın 2005 yılında San Jose State University'den Daniel Goldston, Budapeşte Alfred Renyi Matematik Enstitüsü'nden Janos Pintz ve Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümü'nden Cem Yildirim tarafından beraber yayınlanan ve çözüme çok yaklaşan bir makalesinden hareket edilerek geliştirilmesi.. Konu hakkında internette bahsedilen her yerde bu üç isme ve yayınladıkları makaleye sürekli atıfta bulunuluyor.. Bu konunun arka planı hakkında Cem Yıldırım'ın 2003 yılında Radikal'e verdiği bir roportajı buldum, merak edenler oraya da göz atabilir.

Ortaya konan bu çözüm, ikiz asallar savının kanıtlanmasına doğru atılan en ciddi adımlardan biri olarak görülüyor. Bu konuyu matematikçilerin 'gerçek dünyadan kopuk, süslü" problemleri şeklinde görmeyin sakın, çünkü bu problemin nerelere bağlandığını bir bilseniz... Asal sayıların arasındaki boşluklar şu anda matematikteki en büyük problemlerden biri hatta çözümüne Clay Matematik Enstitüsü'nün 1 milyon dolar verdiğini söylesem inandırıcı olur sanırım.. Asalların dağılımı altında yatan prensipler şu anda inter üzerinden yaptığımız sanal alışverişlerden bankacılık işlemlerine, devlet istihbaratına kadar her alanda kullanılan iletişim protokollerin altında yatan en temel kavramlar aslında. Tabii konunun 'pratik' faydalarının ötesinde asal sayılar başlı başına bir 'merak' kaynağı ve kişisel olarak bu son söylediğim beni hepsinden daha fazla çekiyor.

Konuyla ilgili matematik videoları yayınlayan Youtube kanalı Numberphile, anlaşılabilir bir dille kısa-10'ar dakikalık- iki video yayınladı; konunun matematiği hakkında birkaç şey öğrenmek isteyenlere kesinlikle tavsiye edilir..



İlgili ikinci video da bu bağlantıda..

Konuyla ilgili yayınlanan birkaç yazının bağlantısı:

- Solving a riddle of Primes - The New York Times
- The first proof of infinitely many primes come in pairs - Nature News
- Twin primes are useful - Gödel's Lost Letter and P=NP