Gezegenlerdeki Dağ Yüksekliğini Hesaplamak

Geçtiğimiz 11 Aralık gününün Birleşmiş Milletler tarafından ‘Uluslararası Dağ Günü’ ilan edilmesine ithafen Tumblr’da ‘Güneş Sistemi’nin en yüksek dağları’ olarak Vesta asteroidindeki 22km’lik Rheasilvia dağı ve Mars’taki 25km yüksekliğindeki Olympos Mons volkanının fotoğraflarını paylaşmıştım. Yakın zamanda elime geçen, okuması oldukça kolay bir gezegen-bilim kitabında (Planets and Planetary Systems-Stephan Eales) da bugün, bir gezegen üzerinde oluşabilecek bir dağın yüksekliğini kabaca hesaplayan bir yaklaşımla karşılaştım ve kısaca buradan da paylaşmak istedim.

 

Dawn uzay aracı ile elde edilen Vesta ve görüntünün ortasındaki Rheasilvia dağı (Kaynak: NASA)

 

Viking uzay aracı tarafından elde edilen Olympos Mons görüntüsü (Kaynak: NASA)

 

Çıkarımın temelinde hidrostatik denge adını verdiğimiz, astrofizikteki en temel denklemlerden biri ve bunun yanında oldukça kabaca yaptığımız varsayımlar yatıyor [Hidrostatik denge üzerine önceden yazdığım açıklayıcı bir yazı için tıklayınız]. Öncelikle, aşağıdaki basit çizimde olduğu gibi kaya bir gezegenin yüzeyinde dikdörtgen pirizması şeklinde bir engebe-dağ olduğunu düşünelim. Bu yapının tabandan x kadar uzaklıkta δx kalınlığında bir kesit alalım. Bu yapının dengede olduğunu düşünüp, kesit üzerindeki kuvvetler dengesini yazacağız.

 

 

Kesitin üzerinde öncelikle gezegenin kütlesi(Mp) ile doğru, yarıçapının(Rp) karesi ile ters orantılı bir kütle çekim kuvveti var. Kesitin alanının A, yoğunluğunun ρ olduğunu belirtip aşağıdaki denklemi yazabiliriz:

 

 

Bunun yanında, bu yapının içinde aşağı gittikçe artan bir basınç olmalı ki, aldığımız kesitin alt ve üst yüzeyleri arasında bir basınç kuvveti farkı oluşsun ve bu fark da kütle çekim kuvvetini dengelesin. Yani aşağı doğru olan kütle çekim kuvveti ve kesitin üstündeki basınç kuvveti, yukarı doğru olan kesitin altındaki basınç kuvveti tarafından dengelenmeli, yani toplamları sıfır olmalı:

 

 

Dünya yüzeyindeki dağların yüksekliklerinin gezegenin yarıçapına göre çok çok küçük olduğunu düşünüp, ilk terimin paydasındaki x’I göz ardı edip, denklemi düzenlediğimizde şunu elde ederiz:

 

 

Bu denklemi çözmek için basit bir şekilde basınç (P) ve yükseklik (x) değişkenlerini farklı taraflara alıp, integre edersek:

 

 

Dağın tepesinde(x=h) basıncın sıfır olduğunu kabul ettiğimizde, dağın tabanındaki(x=0) basıncı aşağıdaki gibi buluruz:

 

 

Dağın ayakta durabilmesi için bu basıncın, kayaya sertliğini ve katı şeklini veren yapısındaki molekküller arası bağları ortadan kaldırmayacak kritik basınç değerinden daha az olmalı.  Basınç, bu değerden yüksek olduğu takdirde, en alttaki kaya tabakası üstündekilerin ağırlığı nedeniyle ezilip deforme olacak. Kayalar içinbBu kritik basınç değeri de yaklaşık :

 

 

Yukarıkdaki denklemde P yerine bu kritik basınç değerini koyup düzenlediğimizde maksimum yükseklik değeri için aşağıdaki ifadeyi buluyoruz:

 

 

Bu ifadedeki parametreleri Dünya için yerine koyduğumuzda ~30km gibi, Dünya’daki gerçek değerin birkaç katı bir değer buluyoruz ki bu oluşturduğumuz basit  modele bakarak gayet iyi bir sonuç![Dünya’daki en yüksek dağ tabanı Pasifik okyanusunda olan ve yaklaşık 10kmyüksekliğindeki Mauna Kea dağıdır.] Son denklemi kullanarak aynı zamanda Mp ve Rp parametrelerini değiştirerek başka gezegenlerdeki tipik dağ yüksekliğini de hesaplayabiliriz. Bunun için bir adım daha ilerleyip gezegeni küre olarak düşünüp, ortalama yoğunluğunu kullanarak kütlesini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

 

 

Bu denklemdeki ρ gezegenin ortalama yoğunluğunu ifade ediyor (Dünya için ~5gm/cm^3). Bu hesap için, kaya gezegenlerde ρ değerinin kayanın yoğunluğu(~3g/cm^3) ile eşit olduğunu düşünerek sonunda aşağıdaki genel denklemi elde ediyoruz:

 

 

Bu denklem bize, bir gezegendeki dağın maksimum yüksekliğinin gezegenin yarı çapı ile ters orantılı olduğunu söylüyor. Örneğin test için Mars’ı düşürsek; Mars’ın büyüklüğü Dünya’nın yaklaşık yarısı, bu durumda Mars’taki dağların Dünya’dakilere oranla yaklaşık iki kat daha yüksek olmasını bekliyoruz. Mars’taki en yüksek dağ Olympos Mons’un Dünya’daki en yüksek dağ olan Mauna Kea’ya oranının 2.5 olduğunu göz önüne alırsak, modelimizin basitliğine rağmen tahmininin oldukça tutarlı olduğunu görebiliriz. Ayrıca yukarıdaki denklem bize Güneş Sistemi’ndeki gezegenler arasında en yüksek dağa Mars’ın sahip olmasının nedeninin de küçük bir gezegen olması ile bağlantılı olduğunu açık bir şekilde söylüyor. Bu kadar basit bir hesap ile böylesi güzel bir sonuca varmak müthiş etkileyici bir şey!

 

Güneş Sistemi’ndeki en yüksek sağ oluşumlarının Wikipedia’daki listesi için: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_mountains_in_the_Solar_System

 

Uluslararası Dağ Günü’nün anlam ve önemine dair oldukça güzel bir yazı için de Dağ Delisi blogundaki yazıya göz atabilirsiniz: https://dagdelisi.wordpress.com/2014/12/12/uluslararasi-dag-gunu/