John Nash’in Ardından Evrimsel Oyun Kuramı

Ekonomide 'oyun teorisi' ve matematikte 'kısmi türevli diferansiyel denklemler' alanlarına önemli katkılarıyla bilinen ve 1994 yılında Ekonomi Nobel'ine ve geçtiğimiz aylarda da matematiğin en büyük ödülü sayılan Abel ödülüne layık görülen John Nash bir trafik kazasında eşiyle birlikte hayatını kaybetti. Nash ve eşi Norveç Kraliyet Akademisi'nin verdiği Abel Ödül töreninden dönerken bu feci kazaya kurban gitmişler... J. Nash'i ve çalışmalarını bu dönem itibariyle bölümde oluşturduğumuz küçük bir 'teorik ekoloji' okuma grubunda çalıştığımız konular vesilesiyle yakından tanımış, geçtiğimiz günlerdeki Abel Ödülü haberi üzerine de diğer çalışmalarını detaylıca öğrenme fırsatım olmuştu... Bu vesileyle uğraştığımız problem üzerinden, üstadın ardından birkaç şey karalamak istedim.

Nash'in dramatik biyografisini temsil eden 'Akıl Oyunları' filminde de üzerinde durulan, kendisinin Ekonomi Nobel'ine layık görülmesini sağlayan en ünlü çalışması 'Nash dengesi'(Nash Equilibrium) olarak anılıyor. Bu kavramı anlatmak için öncelikle 'oyun' kavramında bahsetmek gerekiyor. Oyun, matematikte birden fazla 'oyuncu' tarafından oynan ve oynayan kişilerin seçtikleri 'stratejilere' göre 'kazanç' ya da 'kayıp' elde ettikleri ve bahsi geçen stratejilerin her iki oyuncu tarafından açık bir şekilde bilindiği eylem olarak tanımlanıyor. Bu oyunu matematiksel olarak ifade etmek için iki oyuncunun da her seçimi karşılığında elde edeceği, sayılarla ifade edilen kazanç ve kayıpları bir matris üzerinde gösterebiliriz. Buna 'kazanım matrisi' diyelim. Örnek bir oyun olarak ünlü 'Tutsak İkilemi' (Prisoners’ Dilemma)ni ele alalım. Wikipedia'dan alıntalayacak olursak, oyunu şöyle tanımlayabiliriz:

“İki zanlı bir soruşturma kapsamında polis tarafından göz altına alınmıştır. Polis elinde tutuklama için yeterli kanıt olmadığı için her iki zanlıyı ayrı ayrı hücrelere koyup bir anlaşma sunmaktadır. Anlaşmaya göre zanlılardan biri diğerinin aleyhinde tanıklık eder diğeri ise suskun kalırsa, tanıklık eden serbest kalacak susmayı tercih eden taraf ise 10 yıl hapse mahkûm edilecektir. Eğer ikisi de birbirleri aleyhinde tanıklık etmez suskun kalırlarsa her ikisi de 1 yıl hapis cezasına, eğer her ikisi de birbirleri aleyhinde tanıklık ederse, her iki zanlı da 5'er yıl hapis cezasına çarptırılacaktır.”

Bu oyunu matrisle gösterdiğimizde aşağıdaki kazanım matrisini elde ediyoruz:



Yukarıdaki bilgiler ışığında matrisi anlamaya çalıştığımızda, -5 ve -10 sırasıyla 5 ve 10 yıl hapse karşılık gelirken, 0  ise serbest kalmaya karşılık geliyor. İki oyuncu var ve bunlardan biri satırlardaki stratejileri oynarken, diğer oyuncu da sütünlardaki stratejileri oynuyor. Matrisin her elemanı için verilen iki sayının birincisi satırlardaki 'stratejileri' temsil eden oyuncunun kazancını gösterirken, virgülle ayrılmış diğer sayı ise sütünlardaki stratejileri temsil eden oyuncunun kazancını gösteriyor.

Bu oyunu analiz ettiğimizde, karşıdaki oyuncu hangi stratejiyi seçerse seçsin biz her halukarda itiraf ederek inkar ettiğimiz durumdan daha 'karlı' hale geçebildiğimizi görüyoruz. Örneğin karşıdaki itiraf etti diyelim, bu durumda biz inkar ederek 10 yıl hapis yatabiliriz ya da itiraf ederek sadece beş yıla boyun eğebiliriz; diğer durumda karşı taraf inkar etmişse biz de inkar edersek 1 yıl hapis yatarız fakat itiraf ederek serbest de kalabiliriz. Yani 'itiraf etme' stratejisinden farklı bir strateji seçtiğimizde kazancımızı arttırmamın imkanı yok. Bu özelliğe sahip stratejilere 'Nash Dengesi' (Nash Equilibrium) adı veriliyor. Rasyonel olarak kararlar aldığımızı düşünerek oynadığımız bu oyunda 'mantıklı' olan her zaman karşıdaki kişinin de mantıklı davanacağını düşünüp en karlı stratejiyi oynamak; fakat ele aldığımız oyunda bir hinlik var ki o da rasyonel olarak  herkesin Nash dengesini oynaması gerekirken, halbuki ikimiz de anlaşıp beraber inkar etseydik itiraf ettiğimizden 4 yıl daha az, yani yalnızca 1 yıl yatıp sıyrılacaktık. Oyunu ikilem haline getiren de bu aslında..

Bahsi geçen oyunu 'fazla teorik' ve gerçek hayattan uzak bulduysanız bir kez daha düşünün çünkü birden fazla kişinin ortak yaşadığı evlerin ortak alanlarının neden sürekli dağınık olduğundan, bizim gibi toplumlarda neden kimsenin yerdeki çöpü alıp kaldırmadığına kadar birçok sosyal problemin altında bu tip modellenebilen bir karar alma mekanizması yatıyor. Merak edenler ‘tragedy of commons’ diye aratabilirler..

Yazının başında bahsettiğim üzere bu kavramı biz bu dönemki teorik ekoloji çalışmamızda nerede kullanıyoruz derseniz... Bu kavramı belli bir ekosistemdeki farklı tür canlıların birbiriyle etkileşimlerini ve  bu etkileşimleri sonucunda 'fiziksel formda olma' olarak kötü bir Türkçe çeviri ile biyolojik 'fitness'a karşılık gelen, yani bir türün başarıyla çoğalmasına katkıyı modellemek için kullanıyoruz. Oyun teorisi kavramlarını kullanarak yapılan bu tip çalışmalara genel olarak Evrimsel Oyun Kuramı (Evolutionary Game Theory) adı veriliyor. Hadi bunu da bir başka ünlü oyun olan 'Şahin-Kumru oyunu' (Hawk-Dove game) ile örnekleyelim.



Şahin-Kumru oyununda iki stratejimiz bulunuyor: Şahin ve Kumru. Şahinler ‘saldırgan’ stratejiyi, kumrular ise 'çekingenleri' temsil ediyor. Oyunun tüm farklı durumlarını şu şekilde tarif edebiliriz:

• Şahin, bir başka şahin ile karşılaşırsa her ikisi de yaralanıyor ve her ikisinin kazancı da -1 oluyor (ya da bir başka deyişle kaybı 1 oluyor).
• Şahin bir kumru ile karşılaştığında şahin saldırıyor ve 2 kazanç sağlarken, kumru kaçıyor ve hiç kazanç sağlayamıyor.
• İki kumru karşılaştığında ise her ikisi de 'barışçıl’ olarak ortaklaşıyor ve 1 kazanç sağlıyor.

Bu oyunu ilk oyun gibi incelediğimizde, karşıdaki Şahin stratejisini oynadığında biz Kumru oynayarak, karşıdaki Kumru oynadığında biz de Şahin oynayarak diğer durumdan daha kazançlı çıkabiliyoruz. Dolayısıyla bu oyunda Şahin ve Kumru stratejilerinin her biri birer 'Nash Dengesi'. Bunun ekolojik problemimize etkisi ise bu iki stratejinin bu şartlar altında var olduğu bir ekosistemde her iki türün, herhangi birisi yok olmadan bir arada var olabilmesine yol açması. Kazanç ve kayıplardaki bir takım değişikliklerle türlerden birinin yok olması mümkün hale gelebiliyor. Belgesellerden hatırlarsınız belki, uzun boynuzlu geyiklerin ya da keçilerin müsabakalarını; bu tip modellemeler genelde doğada özellikle 'hayvan çekişmelerinde' kullanılıyor ve bu çekişmeler sonunda tarafların elde ettiklerini belirlemek adına epey işe yarıyor.

Bu vesileyle hem J. Nash'i anmış olduk hem de birkaç aydır GökGünce'deki suskunluğumun nedenini ele veren bir yazı ile geri dönmüş oldum. Birkaç aydır astronomi ve astrofizikten uzaklaşarak fizik ve uygulamalı matematik kullanarak çeşitli evrimsel biyoloji ve ekoloji problemleri üzerine çalışmaya başladım. Bu benim için astronomi ile geçirdiğim uzun zamandan sonra farklı bir şeyler yaparak yenilenmeme epey katkı sağlıyor gibi görünüyor. Astronominin yanında bir başka tutkum olan 'doğa' üzerine araştırıp düşünme fırsatı benim için fazlasıyla tatmin edici diyebilirim... İşlerin ne yöne doğru evrileceğini yakın zamanda göreceğiz bakalım (süreci takip etmek isteyenler, yeni yazmaya başladığım İngilizce akademik bloga da göz atabilirler: Non-Elephant Dynamics)…

John Nash’in ölümü üzerine Newyork Times’da yayınlanan yazı için tıklayınız.

J. Nash’in Abel ödülüne layık görülen, oyun teorisi dışındaki çalışmaları üzerine Plus Maths dergisindeki yazı için: Abel Prize 2015: all wrapped up