Yazı-Tura atmak ne kadar rastlantısaldır?

"Bir şeyi dünyadaki en aşikâr şey olarak görmeye başladığımızda, bunu anlamak için sarf edeceğimiz tüm çabayı bir kenara iteriz..." Bertolt Brecht

Matematik ve fizikte bazı şeyleri günlük hesaplamalarda veya daha karmaşık kavramları temellendirmek için kullandığımızda, çoğu zaman ‘aşikarlığını’ sorgulamadan, içgüdüsel olarak belki de ‘daha başka ne olabilirdi ki?’ diyerek yolumuza devam ederiz. Fizikte yüksek lisans seviyesinde bir takım şeyleri kavramaya çalışma sürecimde nedense bahsettiğim ‘aşikar' şeyleri anlamak için özel bir çaba sarf etmem gerektiğini hissediyorum son zamanlarda. Tıpkı dün karşılaştığım ve sonucunu gördüğümde sandalyemden az kalsın düşe yazdığım basit kavram gibi: ‘yazı-tura atmak gibi mekanik bir süreç ne kadar veya neden rastlantısaldır?’.

Fizikte en sevdiğim şey olabildiğince karmaşık görünen olguları çok basit modeller yardımıyla ‘karikatürünü çizmek’, ardından bunu belli varsayımlar altında çözüp gerçek durum hakkında yorumlar yapmak. Yazı-tura atışına baktığımızda bu mekanik süreci etkileyen birçok karmaşık süreçten bahsedebiliriz. Örneğin hava direnci, kütle-çekimi, paranın düştüğü yüzeyin esnekliği, ilk hız (hem yukarı doğru olan doğrusal hız, hem de dönmeyle ilişkili açısal hız), cismin kütle dağılımı vs vs.. Bir takım akla uygun basitleştirmeler ve kontrol edilebildiğini düşündüğümüz bir deney ortamı kullanarak hava direncinin, yüzey esnekliğinin ve kütle dağılımının temel modelimiz için çok da önemli olmadığını söyleyebiliriz. Geriye kalan, yukarı doğru olan doğrusal $v$ hız ve açısal $\omega$ hızının hemen hemen tüm dinamiği belirlediğini göreceğiz.

Modelimizi aşağıdaki gibi kurarsak: parayı, attığımızda doğrusal hızı sayesinde belirli bir yüksekliğe kadar çıkıp, aynı seviyede bekleyen elimize düşeceğini düşünüyoruz. Bunu yaparken bir taraftan da atış sırasında verdiğimiz ilk $\omega$ açısal hızıyla para dönüyor..

Paramızın iki yüzü var: H: Heads (Yazı), T: Tails (Tura). Paranın ilk $v$ hızı etkisiyle yapacağı hareket bariz bir 'dikey atış problemi' ve ilk baştaki yüksekliğini $y(0)$ ve açısal konumu $\theta(0)$'ı sıfır olarak kabul edip, $\tau$ kadar zaman sonra aynı yüksekliğe geri geldiğini, bu süreçte de yatay olarak harekete başlayan $(\theta(0) = 0)$ paranın $\tau$ süre sonra açısal konumu(oryantasyonu) $\theta(\tau)$ olacağını söyleyebiliriz. Buradaki $\theta$ paranın açısal olarak aldığı yola karşılık geliyor ve örneğin bir saniyede 1 dönüş yapan bir para için açısal hız 360°/s veya açıyı radyan cinsinden ölçtüğümüzde $2 \pi$ $  rad/s$ olduğunu söylüyoruz (Fizikte açı hesabında genelde radyan kullanılır). Paranın havada kalma süresinin lise matematiğiyle $$\tau = \frac{2v}{g}$$ olduğunu söyleyebiliriz. Bu sürede paranın ne kadar yol aldığını ise $$\theta(\tau) = \omega \tau = \omega \frac{2v}{g}$$ olarak buluruz. Buradan yola çıkarak ilk baştaki parametrelerimiz olan $v$ ve $\omega$ arasında temel bir ilişki olduğunu kolaylıkla görebiliriz: $$\omega v = \frac{\theta g}{2}$$ Fiziksel bir sistemin dinamiğini anlamak için öncelikle kritik noktalar dediğimiz sistemin davranışının kırıldığı (değiştiği), hassas noktalardaki durumları inceleriz. Bu problemde bu noktalar paranın dik konumda olduğu yani $\theta$ açısının sırasıyla 90°, 270°, 450°, 630°'ye radyan olarak karşılık gelen $$\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}... $$ olduğu durumlara bakalım.

Bu durumlar için yukarıda bahsettiğimiz ilk koşullar arasındaki ilişki, yani $\omega$$v$ çarpımı sırasıyla şöyle olacak: $$\frac{\pi g}{4}, \frac{3 \pi g}{4}, \frac{5 \pi g}{4}, \frac{7 \pi g}{4} ... $$Bu değerlere karşılık gelen $\omega$ ve $v$ değerlerini görmek için bir grafik çizersek şöyle bir şey elde ederiz:

Grafiğin yatay ekseni parayı yukarı attığımız doğrusal hız $v$'yi, dikey eksen de açısal hız $\omega$'yı gösteriyor. Attığımız paranın sadece $\frac{\pi}{2}$ kadar yol aldığı durumda yani yalnızca dörtte bir tur atarak elimize düşdüğü durum $\theta (\tau) = \frac{\pi}{2}$ hiperbolik eğrisini tanımlıyor ve tam eğri üzerindeki $\omega$ ve $v$ değerleri bize 'dik düşen' parayı veriyorlar. Parametreleri bu kadar hassas ayarlayarak fiziksel olarak bu eğri üzerine düşmemiz çok çok güç. O yüzden eğrinin dışındaki bölgeye bakalım: eğrinin hemen altındaki doğrusal ve açısal hız değerleri dönüşün $\frac{\pi}{2} $'den (90°) daha az olduğu, (ilk başta sıfır dereceden başladığımızı düşünürsek) başta başladığımız yüz yine üstte kalacak şekilde elimize düşeceğini, yani sonucun Heads - H olacağını; eğrinin üstü ise $\theta$ açısı $\frac{3 \pi}{2}$ (270°) olana dek paranın ters yüzü yani Tails - T'nin elimize düşeceğini söylüyor. Her bir dik gelme durumu olan $\theta(\tau) =  \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2} ...$ değerlerini de aynı grafiğin üzerine çizersek aşağıdaki gibi bir resim karşımıza çıkıyor.

Pembe renkli bölgelerdeki ilk hızlara karşılık olarak paramız Yazı (Heads), beyaz bölgelerdeki parametrelere karşılık da paramız Tura (Tails) geliyor. O zaman problem çözüldü, dağılabiliriz! Bu sonucu gördüğümde ilk aklıma gelen soru: "Nasıl yani? Madem olayı mekanik olarak bu kadar basit bir şekilde çözebiliyoruz ve başlangıçta verdiğim ilk hız değerlerine göre paranın yazı mı yoksa tura mı geleceğini bilebiliyorum, o zaman 'olasılık' veya 'rastlantısallık' bunun neresinde?" Elde ettiğimiz resim her ne kadar çok temiz ve açıklayıcı görünse de aslında 'şeytan detaylarda saklı'.

Yukarıdaki grafikte yatay eksendeki değerlere baktığımızda 1 m/s'den 15 m/s'ye kadar değişen değerleri görüyoruz. Dikey eksen de 1 radyan/s dönüş hızından, 15 radyan/s dönüşe kadar uzanıyor. Peki tipik bir yazı tura atışında biz paraya ne kadar bir hız veriyoruz? Bu işin üstadı Persi Diaconis'in yaptığı deneyler göstermiş ki verilen doğrusal hız ($v$) tipik olarak 2-3 m/s arasında yani grafikte görebildiğimiz aralıkta. Fakat verdiğimiz açısal hız ise saniyede 36-39 dönüş (radyan olarak 225-250 radyan/s) kadar yüksek bir hız; dolayısıyla fiziksel olarak gerçekleşen parametrelerin değerini yukarıdaki grafikte göremiyoruz. O zaman ölçeği büyütelim, öyle bakalım:

Kırmızı kutuyla gösterilen bölge tipik olarak bir yazı tura atışında elimizle paraya verdiğimiz 2-3 m/s doğrusal hız ile saniyede 225-250 radyan dönüş açısal hız aralığında sistemin nasıl davrandığını gösteren bölge. Gri bölgeler yazı, beyaz alanlar tura gelme durumunu veren parametre bölgeleri. Bu aralığa biraz daha yaklaşalım:

Gördüğünüz gibi yazı ve tura bölgeleri oldukça dar bantlar şeklinde birbirini takip ediyor. Doğrusal hızdaki 0.1 m/s'lik bir değişim dahi parayı gri olan yazı bandından çıkarıp beyaz- tura bandına geçirebiliyor. Sonucun doğrusal hızdaki değişime bağımlılığı açısal hıza bağımlılığından çok daha hassas. Yeşil ok ile gösterilen açısal hassasiyet, yani diğer banda geçmemize neden olan karakteristik değişiklik, kırmızıyla gösterilen doğrusal hassasiyetten daha az etkili. Bu resme bakarak aslında olay açıklığa kavuşuyor: Parayı attığımızda her seferinde elimizle kontrol edemediğimiz başlangıç hızındaki rastlantısal değişiklikler sonunda kendisini tamamen rastlantısal bir sonuç veren bir sürece neden oluyor. İlk hıza bu kadar hassas bir sistemin sonunda yazı mı yoksa tura mı geleceğini kesin olarak söyleyemeyip bunun rastlantısal bir süreç olarak tarif ediyoruz.

Konuyu yukarıda epey kabaca tanımladık aslında. Bunun altında çok derin matematiksel kavramlar yatıyor diyebilirim. Başlangıç koşullarının zamanla ortadan silinip, sistemi 'rastlantısal' bir sisteme dönüştüren bir takım mekanizmalar iş başında aslında, ki bunları ilk olarak 19. yy'ın sonunda ünlü Fransız deha Henri Poincaré incelemiş. Ardından bu süreçlerin altında yatan fiziğe dair 1905'de Einstein'ın 'Brownian Motion' makalesi var.. Fakat belki de en ilginci, yazı-tura probleminin bu kadar basi bir mekanik modelinin kurulup incelenmesi için 1986 yılına kadar beklemek gerekmiş.. Diğer hepsine tamam da işte buna hayret etmemek elde değil!

Konuyla ilgili ileri okumalar yapmak isteyenlere:

1986'da yayınlanan ilgili makale: J. B. Keller. (1986) The probability of heads, American Mathematical Monthly, 93:191-197

Persi Diaconis'in konuyla ilgili müthiş konuşması: The Search for randomness

Numberphile'da yine P. Diaconis ile yapılan güzel bir video: 'How random is a coin toss?'

*Yazıda kullanılan grafik ve görseller Coursera'daki Dr. Santosh S. Venkatesh'in müthiş olasılık dersi Probability'nin ders notlarından alınmıştır.